Aperçu
Un actuateur piézo fonctionnant bien en dessous de sa fréquence de résonance, se comporte  comme une capacité. Le déplacement de l'actuateur est proportionnel à la charge stockée  (estimation de premier ordre). La capacitance de l'actuateur dépend  de la surface et de l'épaisseur de la  céramique, ainsi que des propriétés du matériau. Pour les actuateurs piézos à  empilement, qui sont assemblés avec de minces plaquettes laminaires de matériau céramique  électroactif connectées électriquement en parallèle, la capacitance dépend aussi du nombre d'éléments.
La capacitance d'un actuateur à empilement pour de faibles signaux peut être  estimée à:

(Équation 14)



où:

C = capacitance [F (As/V)]

n = nombre d'éléments =


ε₃₃T =  constante diélectrique [As/Vm]

A =  surface d'électrode d'un seul élément [m

²]

d_S = distance entre les électrodes individuelles (épaisseur des éléments) [m]

I₀ = longueur de l'actuateur 

L'équation montre que pour une longueur d'actuateur donnée, la capacitance augmente en fonction du carré du nombre d'éléments. Donc, la capacitance d'un actuateur piézo construit avec des éléments de 100 µm d'épaisseur est 100 fois la capacitance d'un actuateur avec des éléments de 1 mm, si les deux actuateurs ont la même  dimension. Bien que l'actuateur avec des éléments plus fins nécessite 100 fois plus de courant, les puissances requises pour ces deux  actuateurs, dans cet exemple, sont presque identiques. Les amplificateurs haute tension  et faible tension de PI sont conçus pour répondre aux exigences de ces deux types d'actuateurs.

Fonctionnement Statique
Une fois chargée  électriquement, la quantité d'énergie stockée dans l'actuateur piézo est E = (1/2) CU². Chaque variation de la charge (et donc du déplacement) de la céramique   PZT nécessite un courant  i:

(Équation 15)



Relation entre courant et tension pour un actuateur piézo

où:

i = courant [A]

Q = charge [coulomb (As)]

C = capacitance [F]

U = tension [V]

t = temps [s]

Pour un fonctionnement statique, seul le courant de fuite doit être compensé. La résistance interne élevée réduit les courants de fuite à quelques  microampères ou moins. Même déconnecté subitement de la source électrique, l'actuateur chargé n'effectuera pas subitement un mouvement, mais retournera très lentement à sa dimension non chargée.

Pour une variation lente de la position, seul un courant très faible est nécessaire . 

Exemple: Un amplificateur avec un courant de sortie de  20 µA peut  allonger  entièrement  un actuateur de  20 nF en une seconde. Des amplificateurs adaptés  se trouvent dans le  “Guide de Sélection des Électroniques de Commande"  voir p. see link.

Note
Les valeurs de capacitance des actuateurs indiquées dans les fiches techniques sont valables pour des signaux faibles (mesurées à 1 V, 1000 Hz, 20 °C, non chargé). La capacitance des   céramiques piézos varie avec l'amplitude, la température, et la charge, jusqu'à  200 % de la valeur non chargée, avec de faibles  signaux, et  à température ambiante. Pour plus d'informations sur les puissances requises, se référer aux courbes de réponse en fréquence des amplificateurs dans la section “Piezo Drivers & Nanopositioning Controllers” . 


Fonctionnement Dynamique (Linéaire)
Les actuateurs piézos peuvent fournir des accélérations de milliers de  g  et sont idéalement adaptés pour les applications dynamiques.  

Plusieurs paramètres influencent le fonctionnement dynamique d'un système de positionnement piézo:

• La vitesse de balayage (slew-rate)  [V/s] et le courant maximum de l'amplificateur limitent la fréquence de fonctionnement du système piézo.
  
   
• Si la puissance électrique provenant de l'amplificateur est suffisante, la fréquence de commande maximum peut être limitée par les forces dynamiques  (voir: Fonctionnement Dynamique", p. see link).
  
   
• En fonctionnement en boucle fermée, la fréquence de fonctionnement maximum est aussi  limitée par la réponse en phase et en amplitude du système. Une méthode empirique:  Plus la fréquence de résonance du système est élevée, meilleure est la réponse en phase et en amplitude, et plus la fréquence maximum utilisable est élevée. La bande passante du capteur et la performance du servocontrôleur  (filtres numériques et analogiques, algorithme de commande, bande passante d'asservissement) déterminent la fréquence maximum de fonctionnement d'un système piézoélectrique.
  
   
• En fonctionnement continu, une élévation de température peut aussi limiter la fréquence de  fonctionnement.

Les équations suivantes décrivent la relation entre le courant de sortie de l'amplificateur, la tension et la fréquence de fonctionnement. Elles permettent de déterminer les spécifications minimum de l'amplificateur piézo pour un fonctionnement dynamique.

(Équation 16)



Courant moyen à long-terme nécessaire pour un fonctionnement sinusoïdal 

(Équation 17)



Courant crête nécessaire pour un fonctionnement  sinusoïdal 

(Équation 18)



Fréquence maximum de  fonctionnement avec une forme d'onde triangulaire, en fonction de la limite en courant de sortie de l'amplificateur. 

où:

i_a* = courant moyen de source/absorbé de l'amplificateur [A]

i_max* = courant crête de source/absorbé de l'amplificateur [A]

f_max =  fréquence maximum de fonctionnement [Hz]

C** =   capacitance de l'actuateur piézo [Farad (As/V)]

U_p-p = tension de commande crête à crête   [V]

f   fréquence de fonctionnement [Hz]

La valeur du courant moyen et maximum de chaque amplificateur piézo de  PI se trouve dans les fiches techniques des produits. 

Exemple
Q: Quel courant crête est nécessaire pour obtenir un déplacement sinusoïdal  de 20 µm à 1000 Hz avec un actuateur HVPZT  de 40 nF  et de déplacement  nominal  40 µm à 1000V ?

R: Le déplacement de  20 µm  nécessite une tension de commande  d'environ 500 V crête à crête. L'équation 17 donne un courant crête nécessaire de 63 mA. Pour les amplificateurs  appropriés, voir la section  “Piezo Drivers & Nanopositioning Controllers” , p. see link.

Les équations suivantes décrivent la relation entre  la puissance d'alimentation (réactive), la capacitance de l'actuateur, la fréquence de fonctionnement et la tension de commande.  

La puissance moyenne qu'une alimentation piézo doit être capable de fournir pour un fonctionnement sinusoïdal est donnée par:  

(Équation 19)



La puissance crête pour un fonctionnement sinusoïdal est:

(Équation 20)



où:

P_a = puissance moyenne  r [W]
P_max = puissance  crête  [W]
C** = capacitance de l'actuateur piézo   [F]
f = fréquence de fonctionnement   [Hz]
U_p-p = tension de commande crête à crête   [V]
U_max = tension nominale de l'amplificateur[V]

Il est aussi  essentiel que l'alimentation soit capable de fournir un courant suffisant. 

 * L'alimentation doit être capable de fournir assez de courant. 
** Pour un fonctionnement avec des signaux importants, il faut ajouter une marge de 70% par rapport à la valeur avec des signaux faibles. 

Coefficient du Courant de Fonctionnement Dynamique   (DOCC)
Au lieu de  calculer la puissance d'alimentation nécessaire pour une application donnée, il est plus facile de calculer le courant d'attaque, car il augmente linéairement avec la  fréquence et la tension (déplacement). Dans ce but on a introduit le Coefficient du Courant de Fonctionnement  Dynamique (DOCC). Le DOCC est le courant qui doit être fourni par l'amplificateur pour alimenter l'actuateur piézo, par unité de fréquence (Hz) et  par unité de déplacement. Les valeurs du DOCC sont valables pour un fonctionnement  sinusoïdal en mode boucle ouverte. En fonctionnement en boucle fermée, le courant nécessaire  peut être jusqu'à  50% plus élevé. 

Les valeurs du  courant  crête et du courant moyen à long  terme des différents amplificateurs piézos figurent dans les fiches techniques des électroniques, les valeurs DOCC dans les fiches techniques des actuateurs piézos.  

Exemple: Pour  déterminer si un amplificateur sélectionné peut piloter un actuateur piézo donné  à  50 Hz avec un déplacement crête à crête de 30 µm, multiplier le DOCC de l'actuateur  par  50 x 30 et comparer le résultat avec le courant de sortie moyen de l'amplificateur sélectionné. Si le courant nécessaire est inférieur ou égal à la sortie de l'amplificateur, alors l'amplificateur a une puissance suffisante pour l'application.  

Fonctionnement Dynamique  (Commuté)
Pour les  applications telles que la génération d'onde de choc ou la commande de valve, un fonctionnement commuté (tout ou rien) peut être suffisant. Les actuateurs piézos peuvent fournir un déplacement avec des temps de montée et des temps de descente rapides et des   accélérations de quelques milliers de  g . Pour plus d'informations sur l'estimation des forces impliquées, voir  “Forces Dynamiques ,” p. see link).

La forme la plus simple d'une électronique de commande binaire pour des applications piézos  consiste en un grand condensateur qui se charge lentement et se décharge rapidement à travers la céramique  PZT .

L'équation suivante relie la tension appliquée (correspondant au déplacement) au temps. 

(Équation 21)



Tension sur le piézo après commutation.

où:

U₀ = tension de démarrage   [V]

U_p-p = tension de sortie de la source  (crête à crête) [V]

R = résistance de sortie de la source [ohm]

C = capacitance de l'actuateur piézo  [F]

t = temps [s]

La tension monte ou descend exponentiellement en fonction de la constante de temps RC. Dans des conditions quasi-statiques, l'expansion des céramiques  PZT est proportionnelle à la tension. En réalité, le fonctionnement dynamique des  piézos ne peut être décrit par une  simple équation. Si la tension de commande monte trop rapidement, une résonance se produit, entraînant une suroscillation. De plus, chaque fois que l'actuateur piézo s'allonge ou  se contracte, des forces dynamiques agissent sur le matériau céramique. Ces forces génèrent une tension  (positive ou négative) dans l'élément piézo qui se superpose à la tension de commande.  Un actuateur piézo peut atteindre son déplacement nominal en  approximativement 30% de la  période de la fréquence de  résonance, sous réserve que le contrôleur puisse  délivrer le courant  nécessaire. (voir p. see link).

L'équation suivante s'applique pour un chargement à courant constant (comme avec un amplificateur  linéaire):

(Équation 22)



Temps pour  charger une céramique  piézo avec un courant  constant. Avec une électronique à capacité plus faible, la vitesse de balayage (slew-rate)  de l'amplificateur peut être un facteur  limitatif.

où:

t = temps pour  charger le  piézo à  U_p-p [s]

C = capacitance de l'actuateur piézo   [F]

U_p-p = variation de tension  (crête à crête) [V]

i_max = courant crête de  source/absorbé  de l'amplificateur [A]

Pour obtenir le temps d'établissement le plus court, le fonctionnement commuté n'est pas la meilleure solution  en raison des suroscillations résultantes. Des techniques modernes comme   InputShaping^® (voir p. see link) résolvent les problèmes de résonances à l'intérieur et autour de l'actuateur avec des algorithmes de traitement de signal complexes.

Note
Les systèmes piézos sont devenus de plus en plus populaires car ils permettent de fournir des accélérations  extrêmement élevées. Cette  propriété est très importante dans des applications telles que la déviation de faisceau et la stabilisation  optique. Toutefois, souvent les actuateurs peuvent accélérer plus rapidement que la  mécanique qu'ils entraînent n'est capable de suivre. Une manoeuvre trop rapide des nanomécanismes peut entraîner une oscillation de l'actuateur générée par le recul  de tous les composants adjacents. Le temps nécessaire pour que cette oscillation s'amortisse  peut être beaucoup plus long que le mouvement lui même. Dans les applications industrielles de nanopositionnement où le facteur temps est critique, ce problème devient naturellement plus sérieux du fait que les cadences de déplacements augmentent et que les exigences de résolution se renforcent. 

Les techniques classiques de servocommande  ne peuvent pas résoudre ce  problème, surtout quand les résonances se produisent en dehors de la boucle d'asservissement  par exemple quand l'oscillation se déclenche dans  un échantillon situé sur une platine à balayage piézo rapide lors de l'inversion  de  direction. Une solution est souvent trouvée en réduisant la vitesse  de balayage et en sacrifiant ainsi une partie de l'avantage de la commande piézo.

Une technologie brevetée de réaction positive en temps réel appelée  InputShaping^® annule les  résonances aussi bien à l'intérieur qu'à l'extérieur de la boucle d'asservissement et élimine ainsi la phase d'établissement. Pour plus d'informations voir p. see link ou visiter <*>{www.Convolve.com}<*>.

Émission de Chaleur dans un Actuateur Piézo en Fonctionnement Dynamique 
Les céramiques PZT sont  des charges capacitives (réactives) et donc nécessitent des courants de charge et de  décharge qui augmentent avec la fréquence de fonctionnement. La puissance active thermique, P (puissance apparente  x facteur de puissance, cos j), générée dans l'actuateur  pendant une excitation harmonique peut être  estimée avec l'équation suivante: 

(Équation 23)



Émission de chaleur dans un actuateur  piézo.

où:

P = puissance  convertie en chaleur   [W]

tan d =  facteur diélectrique (» facteur de puissance, cos j, pour de petits  angles d et j)

f =  fréquence de fonctionnement [Hz]

C = capacitance de l'actuateur   [F]

U_p-p = tension (crête à crête)

Pour la  description de la  puissance de perte, nous utilisons le facteur de perte   tan d au lieu du facteur de puissance  cos j, car c'est le paramètre le plus courant pour caractériser les matériaux diélectriques. Pour les céramiques piézos d'un actuateur standard dans des conditions de faibles signaux,  le facteur de perte est de l'ordre de 0,1 à 0,2. Ce qui signifie que jusqu'à   2 % de la "puissance" électrique s'écoulant à travers l'actuateur est convertie en chaleur. Toutefois dans des conditions de grands signaux, 8 à 12 % de la puissance  électrique  envoyée dans l'actuateur est  convertie en chaleur (varie avec la  fréquence, la température, l'amplitude etc.). En conséquence, la température de fonctionnement  maximum  peut  limiter  la dynamique  de l'actuateur  piézo. Pour de grandes amplitudes et des fréquences élevées, des mesures de refroidissement peuvent s'avérer nécessaires. Il est conseillé de monter un capteur de température sur les céramiques pour des raisons de contrôle. 

Un amplificateur spécial utilisant la technologie de récupération d'énergie a été développé,
pour le fonctionnement à fréquence plus élevée des actuateurs de charge élevée et de capacitance élevée  (tels que les actuateurs  de Puissance PICA™- , voir p. see link). Au lieu de  dissiper la puissance  réactive  dans des radiateurs, seule la puissance  active utilisée par l'actuateur  piézo sera fournie.

L'énergie non utilisée dans l'actuateur est retournée à l'amplificateur et réutilisée, tel  que décrit dans le diagramme Fig. 26. La combinaison de céramiques piézos de faible perte et  d'énergie élevée et d'amplificateurs avec récupération d'énergie est la clef vers de nouvelles  applications  dynamiques de haut niveau des actuateurs piézos. 

Pour des applications dynamiques avec des charges  faibles à moyennes, les actuateurs PICMA^® nouvellement développés sont également  parfaitement adaptés. Avec leur température  de Curie élevée de 320 °C, ils peuvent  fonctionner à des températures internes jusqu'à  150 °C.